Главная » Инженерные системы » Информатика что такое круги эйлера. Круги Эйлера: почему один раз увидеть лучше, чем сто раз услышать

Информатика что такое круги эйлера. Круги Эйлера: почему один раз увидеть лучше, чем сто раз услышать

Обзор материала

Математика – один из любимых моих предметов в гимназии. Мне нравится решать разные математические ребусы, логические задачи. На математическом кружке мы знакомимся с различными способами решения задач. Однажды на занятиях кружка нам задали на дом решить следующую задачу: «В классе 35 учеников, 12 – занимаются в математическом кружке, 9 – в биологическом, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?». Я решила ее следующим образом:

35 - 16=19 (ребят)- посещают кружки

19- 9= 10 (ребят) – посещают математический кружок

12 - 10=2 (биолога) – увлекаются математикой.

И попросила проверить решение задачи старшего брата. Он сказал, что

задача решена верно, но есть более удобный и быстрый способ решения. Оказывается, упростить решение этой задачи помогают так называемые круги Эйлера, с помощью которых можно изобразить множество элементов, обладающих определённым свойством. Меня заинтересовал новый способ решения задачи и я решила написать исследовательскую работу на тему: «Решение задач с помощью кругов Эйлера»

Я поставила перед собой цель: изучить новый способ решения нестандартных задач с помощью кругов Эйлера.

Для раскрытия темы моей исследовательской работы были поставлены следующие задачи:

Научиться пользоваться научной литературой.

Изучить, что собой представляют круги Эйлера.

Составить алгоритм решения задач.

Научиться решать задачи с помощью кругов Эйлера.

Составить подборку задач для использования на занятиях математического кружка.

Методы исследования:

Изучение и анализ научной литературы;

Метод индуктивного обобщения, конкретизации.

Объект исследования: круги Эйлера

Предмет исследования: понятие множества, основные действия с ними, необходимые при решении задач с помощью кругов Эйлера

Участники исследования: учащиеся 5-9 классов гимназии

Гипотеза исследования: Метод Эйлера упрощает рассуждения при решении некоторых задач и облегчает путь к ее решению.

Актуальность исследования заключается в том, что существует множество приемов и способов решения нестандартных логических задач. Часто при решении задачи используются рисунки, что делает решение задачи более простым и наглядным. Одним из таких наглядных и удобных способов решения задач является метод кругов Эйлера. Этот метод позволяет решать задачи с громоздким условием и со многими данными.

Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, очень часто предлагаются на математических олимпиадах. Подобные задачи часто имеют практический характер, что важно в современной жизни. Они заставляют задумываться и подходить к решению какой-нибудь проблемы с разных сторон. Учат выбирать из множества способов наиболее простой и легкий.

Теоретическая часть

Краткая историческая справка.

Леонард Эйлер (1707-1783) – великий математик петербургской академии 18 века. Родился в Швейцарском городке Базеле. Рано обнаружил математические способности. В 13 лет он стал студентом факультета искусств Базельского университета, где преподавались и математика, и астрономия. В 17 лет был удостоен ученой степени магистра. В 20 лет Эйлер был приглашен на работу в Петербургскую академию наук, а в 23 года он уже профессор физики, еще через три года получает кафедру высшей математики.

Леонард Эйлер за свою долгую жизнь оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук, написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги.

Что представляют собой круги Эйлера?

Ответ на этот вопрос я нашла, прочитав различную познавательную литературу. Леонард Эйлер считал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». При решении целого ряда задач, он использовал идею изображения множеств с помощью кругов, поэтому они и получили название «круги Эйлера».

В математике множеством называют совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Предметы, составляющие множество, называются его элементами. Условно принято, что круг наглядно изображает объем одного какого-нибудь понятия. Например, наш 5 класс – это множество, а количество учеников в классе – это его элементы.

В математике множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы прописными. Часто записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указываются элементы множества A.

Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то говорят, что А подмножество множества В. Например, множество учеников 5 класса нашей гимназии есть подмножество всех учеников гимназии.

С множествами, как с объектами, можно выполнять определенные действия (операции). Для того чтобы нагляднее представлять себе действия с множествами, используют специальные рисунки – диаграммы (круги) Эйлера. Познакомимся с некоторыми из них.

Множество общих элементов А и В называют пересечением множеств А и В и обозначают с помощью знака ∩.

А∩ В = {т}, С ∩ В = {е, и}.

Множества А и С не имеют общих элементов, поэтому пересечением данных множеств является пустое множество: А∩ С =∅.

Если из элементов множеств А и В составить новое множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее других элементов, то получится объединение множеств А и В, которое обозначается с помощью знака ∪.

Рассмотрим пример: Пусть А = {т, о, ч, к, а}, В = {т, и, р, е}, С = {д, е, ф, и, с}.

А∪В = {т, о, ч, к, а, и, р, е}, В∪ С = {т, и, р, е, д, ф, с}, А ∪ В ∪ С = {т, о, ч, к, а, и, р, е, д, ф, с}.

Выводы: Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая позволяет делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

Убедиться в этом можно на примере задачи.

Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь цветы. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро фиалки. И только у двух есть и кактусы и фиалки. Сколько у меня подруг?

Определим сколько в задаче множеств (т.е. сколько кругов будем рисовать при решении задачи).

В задаче подруги выращивают 2 вида цветов: кактусы и фиалки.

Значит первое множество (1 круг - это подруги, которые выращивают кактусы).

Второе множество (2 круг - это подруги, которые выращивают фиалки).

В первом круге будем обозначать владелиц кактусов, а во втором круге владелиц фиалок.

Выбираем условие, в котором содержится больше свойств, чтобы нарисовать круги. У некоторых подруг есть и те и другие цветы, то нарисуем круги так, чтобы у них была общая часть.

Выполняем рисунок.

В общей части ставим цифру 2, так как у двух подруг есть и кактусы, и фиалки.

По условию задачи 6 подруг разводят кактусы, а 2 уже есть в общей части, то в оставшейся части кактусов ставим цифру 4 (6-2=4).

5 подруг разводят фиалки, а 2 уже есть в общей части, то в оставшейся части фиалок ставим цифру 3 (5-2=3)

Рисунок сам нам подсказывает ответ 4+2+3=9. Записываем ответ.

Ответ: 9 подруг

Практическая часть

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Разобравшись в том, что представляют собой круги Эйлера на примере задачи и изученного материала, я решила перейти к составлению алгоритма решения задач с помощью данного метода.

2.1 Алгоритм решения задач

Внимательно изучаем и кратко записываем условие задачи.

Определяем количество множеств и обозначаем их.

Выполняем рисунок. Строим пересечение множеств.

Записываем исходные данные в круги.

Выбираем условие, в котором содержится больше свойств.

Записываем недостающие данные в круги Эйлера (рассуждая и анализируя)

Проверяем решение задачи и записываем ответ.

Составив алгоритм решения задач с помощью кругов Эйлера, я решила отработать его еще на нескольких задачах.

Задачи на пересечение и объединение двух множеств

Задача 1.

В моем классе 15 учащихся. Из них 9 занимаются в секции лёгкой атлетики, 5 – в секции плавания и 3 – в обеих секциях. Сколько учащихся класса не посещают секции?

Решение.

В задаче одно множество и два подмножества. 1круг - всего учащихся. 2 круг – количество учащихся занимающихся легкой атлетикой. 3 круг - количество учащихся занимающихся плаванием.

Всего учащихся изобразим с помощью большего круга. Внутри поместим круги поменьше, причём нарисуем их так, чтобы у них была общая часть (так как трое ребят занимаются в обеих секциях).

Всего

Выполним рисунок.

Внутри большого круга 15 учеников. В общей части кругов поменьше ставим цифру 3. В оставшейся части круга л/а ставим цифру 6 (9-3=6). В оставшейся части круга п - поставим цифру 2 (5-3=2).

5.Записываем по рисунку ответ: 15-(6+3+2) = 4(учеников) не занимаются ни в одной из этих секций.

Задача 2. (которую я решала другим способом, а сейчас решу с помощью кругов Эйлера)

В классе 35 учеников, 12 занимаются в математическом кружке, 9 в биологическом, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Решение:

В задаче одно множество и два подмножества. 1круг - всего учащихся в классе. 2 круг количество учащихся, занимающихся в математическом кружке (обозначим буквой М). 3 круг - количество учащихся, занимающихся в биологическом кружке (обозначим буквой Б).

Всего учащихся класса изобразим с помощью большого круга. Внутри поместим круги поменьше, имеющие общую часть, т.к. несколько биологов увлекаются математикой.

Выполним рисунок:

Внутри большого круга всего 35 учеников. Посещают эти кружки 35-16 = 19 (учеников). Внутри круга М ставим 12 учеников, занимающихся в математическом кружке. Внутри круга Б ставим 9 учеников, занимающихся в биологическом кружке.

Запишем ответ из рисунка: (12 + 9) – 19= 2 (учеников) – увлекаются биологией и математикой. Ответ: 2 ученика.

2.3. Задачи на пересечение и объединение трех множеств

Задача 3.

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?

Решение:

В задаче одно множество и три подмножества. 1круг большой - всего учащихся в классе. 2 круг поменьше количество учащихся, имеющих тройки по математике (обозначим буквой М), 3 круг поменьше- количество учащихся, имеющих тройки по русскому языку (обозначим буквой Р), 4 круг поменьше – количество учащихся, имеющих тройки по истории (обозначим буквой И)

Нарисуем круги Эйлера. Внутри большего круга, изображающего всех учеников класса, поместим три меньших круга М, Р, И, означающих соответственно математика, русский язык и история, причем все три круга пересекаются, так как 5 учеников имеют «тройки» по всем предметам.

Запишем данные в круги, рассуждая, анализируя и выполняя необходимые расчеты. Так как число ребят, имеющих «тройки» по математике и истории, равно 7, то число учеников, имеющих только две «тройки» - по математике и по истории, равно 7-5=2. Тогда 17-4-5-2=6 учеников имеют две «тройки» - по математике и по русскому языку, а 22-5-2-11=4 ученика только две «тройки» - по истории и по русскому языку. В этом случае без «тройки» учится 40-22-4-6-4=4 ученика. А имеют «тройки» по двум предметам из трех 6+2+4=12 человек.

7-5=2 - число учеников, имеющих только две «тройки» - М, И.

17-4-5-2=6 - число учеников, имеющих только две «тройки» - М, Р.

22-5-2-11=4 - число учеников, имеющих только две «тройки» - И, Р.

40-22-4-6-4=4 - число учеников, занимающихся без «тройки»

6+2+4=12 - число учеников, имеющих «тройки» - по двум предметам из трех

Ответ: 4 ученика, занимаются без «троек», 12 учеников имеют «тройки» по двум предметам из трех

Задача 4.

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 - автобусом, 23 - троллейбусом, 10 - и метро, и троллейбусом, 12 - и метро, и автобусом, 9 - и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

Решение. 1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера:

Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом - (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом - (9 − х) человек, только метро и автобусом - (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:

20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2

Аналогично получаем: 15 –(12 − х) -(9 − х) - x = х − 6 - только автобусом и

23 - (9 − х) - (10 − х) – x = х + 4 - только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:

Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30. отсюда х = 3.

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом:

20+15+23-10-12-9+х=30, 27+х=30, х=3.

Ответ: 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.

2.4. Составление задач, имеющих практическое значение

Задача 1. В 5А классе 15 человек. В кружок «Эрудит» ходят 5 человек, в кружок «Путь к слову» 13 человек, спортивную секцию посещают 3 человека. Причем 2 человека посещают кружок «Эрудит» и кружок «Путь к слову», «Эрудит» и спортивную секцию, спортивную секцию и «Путь к слову». Сколько человек посещают все три кружка?

Решение:

1.Пусть х человек посещают все три кружка, тогда

2. 5+13+3-2-2-2+х=15, 13+х=15, х=2

Ответ: 2 человека посещают все три кружка.

Задача 2

Известно, что ученики 6Б класса зарегистрированы в социальной сетях: «ВК», «Одноклассники», «Галактика знакомств». 2 ученика не зарегистрированы ни в одной социальной сети, 7 учеников зарегистрированы и в «Одноклассниках», и в «ВК»; 2 ученика только в «Одноклассниках» и 1- только в «ВК»; а 2 ученика зарегистрированы во всех 3-х социальных сетях. Сколько человек класса зарегистрированы в каждой социальной сети? Сколько человек класса приняло участие в опросе?

Решение:

Воспользовавшись кругами Эйлера получаем:

В «ВК» зарегистрировано 1+5+2=8 человек,

В «Одноклассниках» 2+5+2=9 человек,

В «Галактике знакомств» только 2 человека.

Всего приняло участие в опросе 1+5+2+2+2=12 человек

2.5. Задачи для использования на занятиях математического кружка

Задача 1: «Гарри Поттер, Рон и Гермиона»

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Задача 2: «Пионерский лагерь»

Задача 3: «Экстрим»

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Задача 4: «Футбольная команда»

В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих, 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари незаменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Задача 5: «Магазин»

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15- холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

Задача 6: «Детский сад»

В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит либо пирожное, либо мороженое, либо и то, и другое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек - пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?

Задача 7: «Ученическая бригада»

В ученической производственной бригаде 86 старшеклассников. 8 из них не умеют работать ни на тракторе, ни на комбайне. 54 ученика хорошо овладели трактором, 62 - комбайном. Сколько человек из этой бригады могут работать и на тракторе, и на комбайне?

Исследовательская часть

Цель: использование метода Эйлера учащимися гимназии при решении нестандартных задач.

Эксперимент проводился с участием учащихся 5-9 классов увлекающихся математикой. Им было предложено решить следующие две задачи:

Из класса шесть учеников ходит в музыкальную школу, а десять занимаются в футбольной секции, еще десять посещают изостудию. Из них трое посещают и футбол, и музыкальную школу. Сколько человек в классе?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

Первую задачу из 10 участников (по 2 человека из каждой параллели классов) эксперимента решили только 4 человека, вторую только два (причем учащиеся 8 и 9 класса). После того, как я им представила свою исследовательскую работу, в которой рассказала о кругах Эйлера, разобрала решение нескольких простейших и предложенных задач с помощью этого метода, учащиеся могли сами решать несложные задачи.

По окончании эксперимента ребятам была предложена следующая задача:

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Из 10 участника эксперимента все справились с этой задачей.

Вывод: Решение задач с помощью кругов Эйлера развивает логическое мышление, дает возможность решать задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными. Учащиеся 5-7 классов не умеют решать системы уравнений, но решать эти же задачи могут. Значит ребятам необходимо знать этот метод решения задач с помощью кругов Эйлера.

Приложения 28 мая 2015

Леонард Эйлер (1707-1783) - известный швейцарский и российский математик, член Петербургской академии наук, бо́льшую часть жизни прожил в России. Наиболее известным в математическом анализе, статистике, информатике и логике считается круг Эйлера (диаграмма Эйлера-Венна), используемый для обозначения объема понятий и множеств элементов.

Джон Венн (1834-1923) - английский философ и логик, соавтор диаграммы Эйлера-Венна.

Совместимые и несовместимые понятия

Под понятием в логике подразумевается форма мышления, отражающая существенные признаки класса однородных предметов. Они обозначаются одним либо группой слов: «карта мира», «доминантовый квинтсептаккорд», «понедельник» и др.

В случае когда элементы объема одного понятия полностью или частично принадлежат объему другого, говорят о совместимых понятиях. Если же ни один элемент объема определенного понятия не принадлежит к объему другого, мы имеем место с несовместимыми понятиями.

В свою очередь, каждый из видов понятий имеет собственный набор возможных отношений. Для совместимых понятий это следующие:

тождество (равнозначность) объемов;
пересечение (частичное совпадение) объемов;
подчинение (субординация).

Для несовместимых:

соподчинение (координация);
противоположность (контрарность);
противоречие (контрадикторность).

Схематически отношения между понятиями в логике принято обозначать при помощи кругов Эйлера-Венна.

Отношения равнозначности

В данном случае понятия подразумевают один и тот же предмет. Соответственно, объемы данных понятий полностью совпадают. Например:

А - Зигмунд Фрейд;

В - основоположник психоанализа.

А - квадрат;

В - равносторонний прямоугольник;

С - равноугольный ромб.

Для обозначения используются полностью совпадающие круги Эйлера.

Пересечение (частичное совпадение)

А - педагог;

В - меломан.

Как видно из данного примера, объемы понятий частично совпадают: определенная группа педагогов может оказаться меломанами, и наоборот - среди меломанов могут быть представители педагогической профессии. Аналогичное отношение будет в случае, когда в качестве понятия А выступает, например, «горожанин», а в качестве В - «автоводитель».

Подчинение (субординация)

Схематически обозначаются как разные по масштабу круги Эйлера. Отношения между понятиями в данном случае характеризуются тем, что подчиненное понятие (меньшее по объему) полностью входит в состав подчиняющего (большего по объему). При этом подчиненное понятие не исчерпывает полностью подчиняющее.

Например:

А - дерево;

В - сосна.

Понятие В будет являться подчиненным по отношению к понятию А. Так как сосна относится к деревьям, то понятие А становится в данном примере подчиняющим, «поглощающим» объем понятия В.

Соподчинение (координация)

Отношение характеризует два и более понятия, исключающих друг друга, но принадлежащих при этом определенному общему родовому кругу. Например:

А - кларнет;

В - гитара;

С - скрипка;

D - музыкальный инструмент.

Понятия А, В, С не являются пересекающимися по отношению друг к другу, тем не менее, все они относятся к категории музыкальных инструментов (понятие D).

Противоположность (контрарность)

Противоположные отношения между понятиями подразумевают отнесенность данных понятий к одному и тому же роду. При этом одно из понятий обладает определенными свойствами (признаками), в то время как другое их отрицает, замещая противоположными по характеру. Таким образом, мы имеем дело с антонимами. Например:

А - карлик;

В - великан.

Круг Эйлера при противоположных отношениях между понятиями разделяется на три сегмента, первый из которых соответствует понятию А, второй - понятию В, а третий - всем остальным возможным понятиям.

Противоречие (контрадикторность)

В данном случае оба понятия представляют собой виды одного и того же рода. Как и в предыдущем примере, одно из понятий указывает на определенные качества (признаки), в то время как другое их отрицает. Однако, в отличие от отношения противоположности, второе, противоположное понятие, не заменяет отрицаемые свойства другими, альтернативными. Например:

А - сложная задача;

В - несложная задача (не-А).

Выражая объем понятий подобного рода, круг Эйлера разделяется на две части - третьего, промежуточного звена в данном случае не существует. Таким образом, понятия также являются антонимами. При этом одно из них (А) становится положительным (утверждающим какой-либо признак), а второе (В или не-А) - отрицательным (отрицающим соответствующий признак): «белая бумага» - «не белая бумага», «отечественная история» - «зарубежная история» и т. д.

Таким образом, соотношение объемов понятий по отношению друг к другу является ключевой характеристикой, определяющей круги Эйлера.

Отношения между множествами

Также следует различать понятия элементов и множества, объем которых отображают круги Эйлера. Понятие множества заимствовано из математической науки и имеет достаточно широкое значение. Примеры в логике и математике отображают его как некую совокупность объектов. Сами же объекты являются элементами данного множества. «Множество есть многое, мыслимое как единое» (Георг Кантор, основатель теории множеств).

Обозначение множеств осуществляется заглавными буквами: А, В, С, D… и т. д., элементов множеств - строчными: а, b, с, d…и др. Примерами множества могут быть студенты, находящиеся в одной аудитории, книги, стоящие на определенной полке (или, например, все книги в какой-либо определенной библиотеке), страницы в ежедневнике, ягоды на лесной поляне и т. д.

В свою очередь, если определенное множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают знаком Ø. Например, множество точек пересечения параллельных прямых, множество решений уравнения х 2 = -5.

Решение задач

Для решения большого количества задач активно используются круги Эйлера. Примеры в логике наглядно демонстрируют связь логических операций с теорией множеств. При этом используются таблицы истинности понятий. Например, круг, обозначенный именем А, представляет собой область истинности. Таким образом, область вне круга будет представлять ложь. Чтобы определить область диаграммы для логической операции, следует заштриховать области, определяющие круг Эйлера, в которых ее значения для элементов А и В будут истинны.

Использование кругов Эйлера нашло широкое практическое применение в разных отраслях. Например, в ситуации с профессиональным выбором. Если субъект озабочен выбором будущей профессии, он может руководствоваться следующими критериями:

W - что я люблю делать?

D - что у меня получается?

P - чем я смогу хорошо зарабатывать?

Изобразим это в виде схемы: круги Эйлера (примеры в логике - отношение пересечения):

Результатом станут те профессии, которые окажутся на пересечении всех трех кругов.

Отдельное место круги Эйлера-Венна занимают в математике (теория множеств) при вычислении комбинаций и свойств. Круги Эйлера множества элементов заключены в изображении прямоугольника, обозначающего универсальное множество (U). Вместо кругов также могут использоваться другие замкнутые фигуры, но суть от этого не меняется. Фигуры пересекаются между собой, согласно условиям задачи (в наиболее общем случае). Также данные фигуры должны быть обозначены соответствующим образом. В качестве элементов рассматриваемых множеств могут выступать точки, расположенные внутри различных сегментов диаграммы. На ее основе можно заштриховать конкретные области, обозначив тем самым вновь образованные множества.

С данными множествами допустимо выполнение основных математических операций: сложение (сумма множеств элементов), вычитание (разность), умножение (произведение). Кроме того, благодаря диаграммам Эйлера-Венна можно проводить операции сравнения множеств по числу входящих в них элементов, не считая их.

Решение логических задач с помощью кругов Эйлера

Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.

Круги Эйлера - геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

Задача 1. В классе 35 учеников. Из них 20 человек занимаются в математическом кружке, 11 - в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Изобразим эти кружки на рисунке. Можем, например, начертить в школьном дворе большой круг, а в нем два поменьше. В левый круг, обозначенный буквой М, поместим всех математиков, а в правый, обозначенный буквой Б, всех биологов. Очевидно, в общей части кругов, обозначенной буквами МБ, окажутся те самые биологи-математики, которые нас интересуют. Остальных ребят класса, а их 10, попросим не выходить из внешнего круга, самого большого. Теперь посчитаем: всего внутри большого круга 35 ребят, внутри двух меньших 35 - 10 = 25 ребят. Внутри «математического» круга М находятся 20 ребят, значит, в той части «биологического» круга, которая расположена вне круга М, находятся 25 - 20 = 5 биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их 11 - 5= = 6 человек, находятся в общей части кругов МБ. Таким образом, 6 биологов увлекаются математикой.

Задача 2. .В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол , 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом.

Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?

Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

Решение. Воспользуемся кругами Эйлера. Пусть большой круг изображает всех учащихся класса, а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта - баскетболом занимаются 16 - (4 + z + 3) = 9 - z; одним лишь хоккеи 17 - (4 + z + 5) = 8 - z;

одним лишь футболом 18 - (3 + z + 5) = 10 - z.

Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам:

3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,

Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.

Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека.

Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Задача 3 . Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Чертим два множества таким образом:

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.

15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».

11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».

Получаем:

Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».

Задача 4. Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Получаем:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

Задача 5 . В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

Изобразим эти множества на кругах Эйлера.

Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:

Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.

Задача 6 . На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

https://pandia.ru/text/80/398/images/image010_1.jpg" alt="22.PNG" width="243" height="158">

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.

Ответ. 5 человек заняты только спортом.

Задача 8. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Леонард Эйлер (1707-1783) - известный швейцарский и российский математик, член Петербургской академии наук, бо́льшую часть жизни прожил в России. Наиболее известным в статистике, информатике и логике считается круг Эйлера (диаграмма Эйлера-Венна), используемый для обозначения объема понятий и множеств элементов.

Джон Венн (1834-1923) - английский философ и логик, соавтор диаграммы Эйлера-Венна.

Совместимые и несовместимые понятия

тождество (равнозначность) объемов;
пересечение (частичное совпадение) объемов;
подчинение (субординация).

Для несовместимых:

соподчинение (координация);
противоположность (контрарность);
противоречие (контрадикторность).

Схематически отношения между понятиями в логике принято обозначать при помощи кругов Эйлера-Венна.

Отношения равнозначности

А - Зигмунд Фрейд;

В - основоположник психоанализа.

А - квадрат;

В - равносторонний прямоугольник;

С - равноугольный ромб.

Для обозначения используются полностью совпадающие круги Эйлера.

Пересечение (частичное совпадение)

А - педагог;

В - меломан.

Как видно из данного примера, объемы понятий частично совпадают: определенная группа педагогов может оказаться меломанами, и наоборот - среди меломанов могут быть представители педагогической профессии. Аналогичное отношение будет в случае, когда в А выступает, например, «горожанин», а в качестве В - «автоводитель».

Подчинение (субординация)

Например:

А - дерево;

В - сосна.

Соподчинение (координация)

А - кларнет;

В - гитара;

С - скрипка;

D - музыкальный инструмент.

Противоположность (контрарность)

А - карлик;

В - великан.

Противоречие (контрадикторность)

А - сложная задача;

В - несложная задача (не-А).

Отношения между множествами

Обозначение множеств осуществляется А, В, С, D… и т. д., элементов множеств - строчными: а, b, с, d…и др. Примерами множества могут быть студенты, находящиеся в одной аудитории, книги, стоящие на определенной полке (или, например, все книги в какой-либо определенной библиотеке), страницы в ежедневнике, ягоды на лесной поляне и т. д.

В свою очередь, если определенное множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают знаком Ø. Например, множество точек пересечения множество решений уравнения х 2 = -5.

Решение задач

Для решения большого количества задач активно используются круги Эйлера. Примеры в логике наглядно демонстрируют связь с теорией множеств. При этом используются таблицы истинности понятий. Например, круг, обозначенный именем А, представляет собой область истинности. Таким образом, область вне круга будет представлять ложь. Чтобы определить область диаграммы для логической операции, следует заштриховать области, определяющие круг Эйлера, в которых ее значения для элементов А и В будут истинны.

W - что я люблю делать?

D - что у меня получается?

P - чем я смогу хорошо зарабатывать?

Изобразим это в виде схемы: в логике - отношение пересечения):

Результатом станут те профессии, которые окажутся на пересечении всех трех кругов.

Отдельное место круги Эйлера-Венна занимают в математике при вычислении комбинаций и свойств. Круги Эйлера множества элементов заключены в изображении прямоугольника, обозначающего универсальное множество (U). Вместо кругов также могут использоваться другие замкнутые фигуры, но суть от этого не меняется. Фигуры пересекаются между собой, согласно условиям задачи (в наиболее общем случае). Также данные фигуры должны быть обозначены соответствующим образом. В качестве элементов рассматриваемых множеств могут выступать точки, расположенные внутри различных сегментов диаграммы. На ее основе можно заштриховать конкретные области, обозначив тем самым вновь образованные множества.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

В наше время вокруг нас собрано огромное количества информации, разобраться в ней бывает непросто. Поэтому многие не знают, что за названием «Круги Эйлера» скрывается практичный и удобный метод решения различных задач. Все слышали о них, но немногие могут объяснить, что это такое. Однако я считаю, что Круги Эйлера полезны как в повседневной жизни, так и в науке, поэтому ими стоит уметь пользоваться каждому. В этой работе я собрала всю необходимую информацию для понимания, что такое Круги Эйлера и где их удобно применять.

Круги Эйлера — это геометрическая схема, с помощью которой можно наглядно изобразить отношения между различными множествами и подмножествами. Такая схема помогает находить логические связи между явлениями и понятиями, она изобретена Леонардом Эйлером, используется в математике и других научных дисциплинах. Использование Кругов Эйлера упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ. (1),(2)

Круги Эйлера неотрывно связаны с понятием множества. Поэтому, чтобы лучше понимать, что изображено на кругах Эйлера, нужно знать, что такое множество и какие множества бывают.

Под множеством можно понимать совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества. Во множества можно объединять любые объекты с общим признаком. Например, множество учеников гимназии 11, учащихся в 7 «Б» классе составляют отдельное множество. Множества могут быть и неодушевленных предметов. Например, множество книг, написанных каким-либо автором. С помощью кругов Эйлера множество обозначается, как пустой круг, а входящие в него элементы - точками. (5)

Давайте изобразим множество цифр. На рисунке контуром обозначено множество, а точками элементы этого множества.

Множества бывают трех видов:

· Конечное (например - множество цифр)

· Бесконечное (например - множество чисел)

· Пустое (множество натуральных чисел

меньше нуля). (5)

Группа предметов, образующая множество, входящее в состав более обширного множества, изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга, и называется подмножеством. Такое отношение образуется между большим множеством животных и входящим в его состав подмножеством плоских червей. (5)

В тех случаях, когда два понятия совпадают только частично, отношение между такими множествами изображается с помощью двух перекрещивающихся кругов. Такое отношение образуется между множеством учащихся 7 «Б» класса и множество троечников. Некоторые элементы множества учеников 7 «Б» класса принадлежат и к множеству троечников. (5)

Когда ни один предмет, из одного множества, не может одновременно принадлежать второму множеству, то отношение между ними изображается посредством двух кругов, нарисованных один вне другого. Такими множествами являются множество отрицательных и множество положительных чисел. (5)

Круги Эйлера были изобретены и названы в честь Леона́рда Э́йлера (портрет слева). Это был швейцарский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер родился в Швейцарии, учился в Германии, но работал и умер в России. Этот ученый - автор 800 работ. Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье пастора. Его отец был другом семьи Бернулли. У Эйлера рано проявились математические способности. Обучаясь в гимназии, мальчик увлечённо занимался математикой, а позже стал посещать университетские лекции Иоганна Бернулли. 20 октября 1720 года Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Одаренный молодой человек обратил на себя внимание профессора Иоганна Бернулли. Он передал студенту математические статьи для изучения, а также пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер встретился и начал общаться с сыновьями Бернулли — Даниилом (портрет слева) и Николаем (потрет справа), которые тоже занимались математикой. (6)

Юный Эйлер написал несколько научных работ. «Диссертация по физике о звуке» получила благоприятный отзыв. В то время число научных вакансий в Швейцарии было невелико. Поэтому братья Даниил и Николай Бернулли уехали в Россию, где начинала создаваться Российская Академия наук; они обещали похлопотать там и о должности для Эйлера. В начале зимы 1726 года Эйлеру пришло письмо из Санкт - Петербурга: по рекомендации братьев Бернулли он приглашён на должность адъюнкта по физиологии с окладом 200 рублей. Эйлер провёл много времени в России, где внёс существенный вклад в российскую науку. С 1731 был избран академиком Петербургской Академии. Хорошо знал русский язык, а сочинения и учебники публиковал на русском. (6)

Тогда Эйлер подробно описывает свой метод решения некоторых задач при помощи кругов Эйлера. В 1741 году Эйлер пишет «Письма о разных физических и философических материях, к некоторой немецкой принцессе..», где упоминаются «круги Эйлера». Эйлер писал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». (3)

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли по-своему. Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами. Благодаря вкладу Венна метод даже называют диаграммами Венна или еще Эйлера-Венна. Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только. (1)

Вот несколько задач для решения, которых, удобно использовать круги Эйлера:

Задача 1.

У ребят из одной школы спрашивали об их домашних животных. 100 из них ответили, что у них дома есть собака и/или кошка. У 87 ребят была одна собака, а у 63 ребят - одна кошка. У скольких ребят есть и собака и кошка?

Решение:

Чтобы решить эту задачу, не используя круги Эйлера нужно подсчитать, сколько собак и кошек было у учеников. Для этого нужно сложить 87 и 63. 87+63=150 домашних животных. Учеников было всего лишь 100, а дробного числа домашних животных получиться не может. Значит если у каждого ученика 1 домашнее животное, остается еще 50 лишних. Следовательно, у 50 учеников 2 домашних животных. И так как в задаче указано, что ни у одного из учеников нет 2 кошек или 2 собак, то это значит, что у 50 учеников есть и кошка и собака.

Но этот способ долгий и подходит только для простых задач. Такую задачу намного удобнее решить через круги Эйлера.

Красным кругом изобразим множество обладателей собак, а синим множество обладателей кошек. Всего учеников было 100. Тех, у кого есть и кошка, и собака Х. Чтобы найти количество учеников, у которых только собака нужно из 87 вычесть Х. Так как всего учеников 100, мы получаем:

Х=50 учеников

Ответ: у 50 учеников есть и кошка и собака

Задача 2.

Однажды учеников спросили, кто из них любит математику, кому нравится русский язык, а кому физика. Оказалось, что из 36 учеников 2 не любят ни математику, ни русский, ни физику. Математика нравится 25 ученикам, русский язык- 11, физика - 17 ученикам; и математика, и русский- 6; и математика, и физика- 10; русский язык и физика - 4.

Сколько человек любят все три предмета?

Решение:

Изобразим 3 множества. Красное множество тех, кто любит математику, синие тех, кто любит русский язык, зеленое - физику.

Теперь впишем в множества количество элементов. 6 человек любят и русский и математику. Из них X человек любят еще и физику. Значит, только математику и русский любят 6-Х человек. Только математику и физику 10-Х, только русский и физику 4-Х человек. 25 человек любят математику. Но Х, 6-Х, 10-Х человек любят и другие предметы. Значит, только математику любят 25-(6-Х)-(10-Х)-Х= 25-6+Х-10+Х -Х=5+Х человек. Только русский любят 11-(6-Х)-(4-Х)-Х= 11-10+2Х-Х=1+Х учеников, только физику 17-(10-Х) -(4-Х)-Х= 17-14+2Х-Х= 3+Х.

Так как 2 человека не любят ни один из этих предметов, то:

3+Х+9+Х+1+Х+6-Х+10-Х+4-Х+Х=36-2

Ответ: 1 человек любит все три предмета

Задача 3.

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу природа? (4)

Решение :

По запросу человек было найдено 2100 тысяч страниц. 900 из них еще и о природе. Значит страниц только о человеке 2100-900=200 тысяч, а только о природе Х-900 тысяч. Получаем, что:

2100-900+Х-900+900=3400

2100-900+Х=3400

Х=2200 тысяч страниц

Ответ: по запросу природа будет найдено 2200 тысяч страниц.

Как видите Круги Эйлера - это полезное и важное открытие для математики в целом и для каждого из нас в частности. Круги Эйлера встречаются не только на экзаменах, но и нужны нам в повседневной жизни. Это интересная и необходимая вещь, о которой не стоит забывать.

Литература:

https://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0

http://sibac.info/shcoolconf/science/xvii/42485

http://www.jwy.narod.ru/logic/_04_eiler.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80,_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4